第一章 概率基础

# 第一章 概率基础

排列组合

$ C^n_m=\frac{m!}{n!(m-n)!}$ 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数

$ A^n_m = \frac{m!}{(m-n)!}$ 从m个人中跳出n个人进行排列的可能数

全概率公式

设试验E的样本空间为S，A为E的时间，B~1~,B~2~,...,B~n~为S的一个划分,且$P(B_i)>0(i=1,2,...,n)$,则

$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n) = \sum_{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)$

贝叶斯公式

设实验E的样本空间S. A为E的时间,B~1~,B~2~,...,B~n~ 为S的一个划分,且P(A)>0, P(B~i~)>0 (i=1,2,3,...,n), 则

$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)} $

## 离散型-连续型

离散型的随机变量用概论分布函数

$P(x_1=i)=1/6; i=1,...,6$

连续型的随机变量用概论密度函数

$P(a \leq x \leq b) = \int_a^b f_x(t)dt$

Discrete Random Variable 离散随机变量

(0-1)分布

$P{X=k}=p^k(1-p)^{1-k} $ 其中,k=0,1 (0<p<1)则称X服从以P为参数的(0-1)分布

伯努利试验 二项分布

试验E只有两个可能的结果: A与$\bar A$,则称E为伯努利试验. 设$P(A)=p(0<p<1)$,此时$P(\bar A) =1-P$,将E独立重复的进行n次,则称这一串重复的独立试验为 n重伯努利试验.

以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数
$$
P{X=k} = C^k_np^k(1-p)^{n-k}
$$

称随机变量X服从参数为n,p的二项分布. 记为$X\sim b(n,p)$

泊松分布

随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,... 而取各个值的概率为
$$
P{X=k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}, k=0,1,2,...
$$

其中$\lambda>0$是常数,则称X服从参数为$\lambda$的泊松分布,记为$X\sim\pi(\lambda)$

Continuous Random Variable 连续随机变量

概率密度

如果对随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使得对于任意实数x有
$$
F(x)=\int^x_{-\infty} f(t)dt
$$

则称X为连续性随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.

均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度
$$
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{b-a}, \quad a<x<b \[2ex]
0, \quad 其他
\end{cases}
$$
则称X再区间(a,b)上服从均匀分布,记为$X\sim U(a,b)$

指数分布

若连续随机变量X的概率密度为
$$
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, 0<x \
0 , 其他
\end{cases}

\quad
or
\quad

f(x)=
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} , 0 0 , 其他
\end{cases}
$$
其中$\theta >0$ 为常数,则称X服从参数为$\theta$的指数分布.

正态分布

连续性随机变量X的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma ^2}, \quad -\infty<X<+\infty
$$
$E[x]=\mu --- 数学期望$

$Var(x) = \sigma^2 --- 方差$

其中$\mu,\sigma(\sigma>0)$为常数,则称X服从参数为$\mu,\sigma$的正态分布或高斯分布.记为$X\sim N( \mu,\sigma^2)$

引理:若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$,则$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}~N(0,z)$

为了便于在统计中的应用,对于标准正态分布随机变量,引入上$\alpha$分位点的定义.

设$X\sim N(\mu,\sigma^2)$,若$Z_a$满足条件

$P{X > Z_a} = \alpha 0<\alpha<1$.则称点$Z_a$为标准正态分布上的$\alpha$分为点.

[主] 有图形对称性知道$Z_{1-a}=-Z_a$

Distribution Of Functions Of Random Variables 随机变量函数的分布

定理: 设随机变量X具有概率密度$f_X(x), -\infty < x< +\infty$又设函数g(x)处处可导且恒有 $g(x)>0$(或恒有$g(x)<0$),则有$Y=g(x)$是连续型随机变量其概率密度为
$$
f(x)=
\begin{cases}
f_X[h(y)]|h`(y)|,\alpha<x<\beta\
0,其他
\end{cases}
$$
其中$\alpha = min{g(-\infty)<x<g(+\infty ) },\beta=max{g(-\infty)<x<g(+\infty)}$,$h(y)$是$g(x)$的反函数

多维随机变量及其分布

Two-dimensional random variable 二维随机变量

定义:设(x,y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数:
$$
F(x,y)=P{(X \leq x) \cap (Y \leq y) }=记=P{X\leq x,Y\leq y }
$$
称为二维随机变量(x,y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数

Edge distribution 边缘分布

二维随机变量(x,y)作为一个整体,具有分布函数F(x,y),而X和Y都是随机变量,各自也有分布函数,将他们分别记为$F_X(x),F_Y(y)$.一次称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.

离散型:
$$
X的边缘分布为 \quad P_{i\bullet}=\sum_j P_{ij}(i,j=1,2,...);\
Y的边缘分布为 \quad P_{\bullet j}=\sum_i P_{ij}(i,j=1,2,...);
$$
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